In der Mathematik sind Coxeter-Gruppen eine formale Beschreibung und Verallgemeinerung von Spiegelungsgruppen.

Definitionen

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Coxeter-Gruppen werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer Präsentierung

 

mit   und   für  .

Die Bedingung   bedeutet, dass   unendliche Ordnung haben.

Das Paar  , bestehend aus einer Coxeter-Gruppe   und einer Menge aus Erzeugern  , wird als Coxeter-System bezeichnet.

 
Klassifikation der Coxeter-Diagramme

Coxeter bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre Coxeter-Diagramme. Diese sind Graphen mit einem Knoten für jeden Erzeuger  , Kanten zwischen den   und   verbindenden Knoten genau für   und einer Markierung der Kante durch   für  . Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei   und   jeweils für jedes   einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.

Literatur

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  • Coxeter, HSM: Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934.
  • Coxeter, HSM: The complete enumeration of finite groups of the form  , J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.