Bruchgleichung

Michael Elmers Begriff aus der Algebra

Unter einer Bruchgleichung versteht man in der (Schul-)Algebra eine Bestimmungsgleichung mit mindestens einem Bruchterm, der die Unbekannte im Nenner enthält.[1]

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man eine Bruchgleichung auf einen einfacheren Gleichungstyp zurückführen.[1]

Beispiel

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Als Grundmenge wird die Menge der rationalen Zahlen vorausgesetzt, d. h., es werden rationale Zahlen gesucht, die diese Gleichung erfüllen.

Zunächst muss der Hauptnenner der drei Nenner bestimmt werden, da die Gleichung mit diesem multipliziert werden soll. Man zerlegt daher die Nenner in Faktoren:

    | Anwendung der binomischen Formel  
    | Ausklammern
 

In dieser Form ist der maximal zulässige Definitionsbereich   der Gleichung erkennbar. Er ist gleich der Menge der rationalen Zahlen mit Ausnahme derjenigen Zahlen, für die beim Einsetzen in die Gleichung mindestens ein Nenner gleich 0 wird. Wegen des Faktors   ist die Zahl 0 „verboten“, wegen des Faktors   die Zahl   und wegen des Faktors   die Zahl  .

 

Außerdem sieht man nun, dass die Gleichung (und damit jeder Summand der Gleichung) mit dem Hauptnenner

 

zu multiplizieren ist.

 

Hinter dieser Multiplikation steckt die Absicht, in den Zählern und Nennern der Bruchterme die gemeinsamen Faktoren herauszukürzen und so die Bruchterme zu beseitigen.

 

Diese Gleichung lässt sich nunmehr durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleichartiger Terme weiter vereinfachen:

 
 
 

Die quadratischen Summanden   fallen heraus, wenn man sie von beiden Seiten der Gleichung subtrahiert.

 

Beidseitige Subtraktion der Zahl 6 führt zu:

 .

Anschließende beidseitige Division durch −6 ergibt die Lösung.

 .

An dieser Stelle muss sicherheitshalber noch überprüft werden, ob die berechnete Zahl Element des Definitionsbereichs (siehe oben) ist. Dies trifft zu, und man erhält als Lösungsmenge:

 

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. a b Andreas Pfeifer: Kompaktkurs Mathematik. Oldenbourg, München 2007, ISBN 978-3-486-58291-8, S. 36.