Brent-Verfahren

numerische Mathematik

Das Brent-Verfahren ist ein Verfahren der numerischen Mathematik zur iterativen Bestimmung einer Nullstelle, welches die Bisektion, das Sekantenverfahren (bzw. lineare Interpolation) und die inverse quadratische Interpolation miteinander kombiniert. Das Verfahren wurde von Richard P. Brent 1973 entwickelt und ist eine Modifizierung des früheren Algorithmus von Theodorus Dekker (1969).

Grundidee

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Problem: Gesucht ist die Nullstelle   einer stetigen Funktion  
Gegeben sind zwei Startwerte   und  , deren Funktionswerte   und   unterschiedliches Vorzeichen besitzen, d. h.  , so dass nach Zwischenwertsatz eine Nullstelle im Intervall   existiert.

Zur Lösung dieses Problems kann man nun unterschiedliche Lösungsansätze verwenden. Allgemein wird man mit der Bisektion immer zu einer Näherung kommen. Aber es gibt auch Verfahren, die für glatte Funktionen schneller konvergieren können, wie das Sekantenverfahren mit superlinearer Konvergenz. Es gibt aber Beispiele, wo das Sekantenverfahren gar nicht konvergiert, da dieses Verfahren nur lokal konvergent ist, das heißt, es hängt davon ab, wie die Startwerte gewählt sind.

Die Dekker-Methode vereinigt nun die beiden Vorteile der zwei Verfahren.

Verfahren von Dekker

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Drei Punkte gehören zu jedem Iterationsschritt:

  •   ist der aktuelle Iterationswert
  •   ist der gegenüberliegende Punkt, d. h. ein Punkt, so dass   und   unterschiedliches Vorzeichen besitzen, so dass das Intervall   die Nullstelle enthält. Außerdem sollte noch folgendes gelten:  , damit   eine bessere Näherung ist als  .
  •   ist der vorherige Iterationswert (im ersten Iterationsschritt setzten wir  ).

Für jeden Iterationsschritt werden zwei vorläufige Werte ermittelt. Der erste durch das Sekantenverfahren:

 

und der zweite durch die Bisektion:

 

Wenn der Wert des Sekantenverfahrens   zwischen   und   liegt, dann wird das der neue Iterationswert  , ansonsten der Mittelpunkt nach Bisektion ( ).

Der neue Punkt   wird so gewählt, dass   und   unterschiedliche Vorzeichen besitzen, dies geschieht folgendermaßen: wenn   und   unterschiedliche Vorzeichen haben, dann wird  . Ansonsten müssen   und   unterschiedliche Vorzeichen haben, so dass  .

Schlussendlich muss   die bessere Näherung sein, also es muss gelten  , wenn nicht, werden einfach beide Variablen getauscht.

Damit ist ein Iterationsschritt durchgeführt.

Verfahren von Brent

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Die Dekker-Methode konvergiert schnell, wenn die Funktion gutartig ist. Es gibt aber Beispiele, bei denen in jedem Iterationsschritt das Sekantenverfahren verwendet wird, aber die   nur sehr langsam konvergieren. Insbesondere   kann beliebig klein werden, d. h.   liegt sehr nah bei  . In diesem Fall benötigt Dekkers Methode weit mehr Iterationsschritte als die Bisektion.

Um dies zu vermeiden, hat Brent das Verfahren leicht modifiziert, indem zur Berechnung der neuen Näherung gegebenenfalls drei Punkte   und   verwendet werden, die drei Punkte umfassen die Näherung des letzten Iterationsschrittes und den dazugehörigen gegenüberliegenden Punkt, dessen Funktionswert ein anderes Vorzeichen besitzt, und eine „ältere“ Näherung aus einem vorherigen Schritt. Außerdem werden noch mehr Voraussetzungen verlangt, bevor überhaupt eine Interpolation durchgeführt wird, so dass ein zu langsames Konvergieren ausgeschlossen werden kann und das Verfahren nicht viel langsamer als die Bisektion konvergiert. Außerdem verwendet Brent nicht nur die lineare Interpolation, sondern auch die inverse quadratische Interpolation, wenn die drei Punkte   und   unterschiedliche Funktionswerte   und   besitzen. Dies verspricht eine etwas bessere Effizienz bei der Annäherung an die Nullstelle.

Die Interpolation wird durchgeführt, wenn der dadurch neu berechnete Punkt s in dem Intervall   liegt, sonst führt man einen Bisektionsschritt durch. Außerdem soll die Änderung des Punktes   größer sein als ein gewisser Toleranzwert  , welcher aus der gewünschten Genauigkeit   und der Maschinengenauigkeit   berechnet wird. Sollte der Schritt kleiner sein, ändert man den Punkt b um diesen Toleranzschritt, um wenigstens   zu gewährleisten, also man rechnet  . Nach so einem kleinen Schritt um   wird spätestens im übernächsten Iterationsschritt eine Bisektion durchgeführt, um so das Verfahren nicht viel langsamer konvergieren zu lassen als die Bisektion an sich.

Brent zeigt, dass seine Methode höchstens   Iterationsschritte benötigte, wobei   die Anzahl der Iterationsschritte für die Bisektion ist. Wenn die Funktion   gutartig ist, dann wird die Brent-Methode in der Regel die inverse quadratische oder die lineare Interpolation verwenden und somit superlinear konvergieren.

Algorithmus von Brent für Matlab

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Folgender Algorithmus liegt dem Brent-Verfahren zugrunde:

fa=f(a); fb=f(b);

if fa*fb>0
    error('f(a) und f(b) sollten unterschiedliche Vorzeichen haben');
end

c=a; fc=fa;   %Zu Beginn ist c = a

c=a; fc=fa; d=b-a; e=d;

iter=0;
maxiter=1000

while iter<maxiter
    iter=iter+1

    if fb*fc>0
        c=a; fc=fa; d=b-a; e=d;
    end

    if abs(fc)<abs(fb)
        a=b; b=c; c=a;
        fa=fb; fb=fc; fc=fa;
    end

    tol=2*eps*abs(b)+t; m=(c-b)/2; %Toleranz

    if (abs(m)>tol) && (abs(fb)>0) %Verfahren muss noch durchgeführt werden

        if (abs(e)<tol) || (abs(fa)<=abs(fb))
            d=m; e=m;
        else
            s=fb/fa;
            if a==c
                p=2*m*s; q=1-s;
            else
                q=fa/fc; r=fb/fc;
                p=s*(2*m*q*(q-r)-(b-a)*(r-1));
                q=(q-1)*(r-1)*(s-1);
            end
            if p>0
                q=-q;
            else
                p=-p;
            end
            s=e; e=d;
            if ( 2*p<3*m*q-abs(tol*q) ) && (p<abs(s*q/2))
                d=p/q;
            else
                d=m; e=m;
            end
        end

        a=b; fa=fb;

        if abs(d)>tol
            b=b+d
        else
            if m>0
                b=b+tol;
            else
                b=b-tol;
            end
        end
    else
        break;
    end

    fb=f(b);
 end

 xs=b;

Beispiel

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Für die bei   gelegene Nullstelle der Funktion

 

erhält man mit den Startwerten   und   und der gewünschten Genauigkeit von   für die drei Verfahren folgende Ergebnisse:

Verfahren Anzahl der Iterationsschritte Fehler nach Ende der Iteration
Brent 9 0
Sekantenverfahren konvergiert nicht in 1000 Schritten entfällt
Bisektion 31 1.164153*10−10

Die Iterationsschritte des Brent-Verfahrens genauer betrachtet:

Iterationsschritt angewendeter Schritt aktuelle Näherung x ≈
1 Lineare Interpolation 1.6457
2 Bisektion 0.84785889251506
3 Lineare Interpolation 1.18604831457557
4 Lineare Interpolation 1.04253452228117
5 Quadratische Interpolation 0.99590946651532
6 Lineare Interpolation 1.00026718046634
7 Lineare Interpolation 1.00000163554039
8 Quadratische Interpolation 0.99999999999436
9 Lineare Interpolation 1

Literatur

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  • Richard Brent: Algorithms for Minimization without Derivatives. Dover 2002
  • Press et al.: Numerical Recipes in C. Cambridge University Press, 1991