Die Bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob I Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
![{\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x),\ \alpha \notin \lbrace 0,1\rbrace .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12ccd3d9616daf81850c36c45b9fb23e30fd297)
Durch die Transformation
![{\displaystyle \ z(x):=(y(x))^{1-\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a470e610027060ed657c85c195c9bf5c262fae)
kann man sie auf die lineare Differentialgleichung
![{\displaystyle z'(x)=(1-\alpha ){\bigl (}f(x)z(x)+g(x){\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9434bd191f4202e90f58904e28c83822044a9d6d)
zurückführen.
Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.
Sei und
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eine Lösung der linearen Differentialgleichung
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Dann ist
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die Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung
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Weiter besitzt die Bernoullische Differentialgleichung für jedes trivialerweise als Lösung für .
Es gilt
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während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.
Beispiel: Logistische Differentialgleichung
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Die logistische Differentialgleichung
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ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit . Löst man daher
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ergibt sich
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Da für alle mit
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ist
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die Lösung obiger Gleichung auf .
- Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7