Benutzer:SuPich/Mittlere absolute Abweichung

Die mittlere absolute Abweichung (englisch mean absolute deviation, kurz MAD oder MD) ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik und gibt an, wie weit eine Stichprobe „im Mittel“ von ihrem „Mittelpunkt“ (arithmetisches Mittel oder Median) abweicht. Es existieren verschiedene Definitionen der mittleren absoluten Abweichung, die sich in der Berechnung des „Mittelpunkts“ und in der Berechnung des „Mittels“ der Abweichungen unterscheiden.

Im Gegensatz zur empirischen Varianz wird bei der mittleren absoluten Abweichung der Abstand zum (arithmetischen) Mittel nicht quadratisch gewichtet, sondern nur dem Betrage nach. Große Abweichungen vom arithmetischen Mittel fallen daher nicht so stark ins Gewicht.

Definitionen

Gegeben sei eine Stichprobe $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ mit $n$ Elementen. Es sei ${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ dessen arithmetisches Mittel und ${\tilde {x}}$ dessen Median.

• Die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel ist definiert als:

$d_{\overline {x}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\overline {x}}|$, also als arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen vom arithmetischen Mittel der Stichprobe.

• Die mittlere absolute Abweichung vom Median ist entweder definiert als:

${\tilde {d}}_{0{,}5}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\tilde {x}}|$, also als arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen vom Median der Stichprobe; Oder als:

${\tilde {d}}_{0{,}5}={\text{median}}(|x_{i}-{\tilde {x}}|)$, also als Median der absoluten Abweichungen vom Median der Stichprobe.

Für alle diese Definitionen wird auch die Notation ${\text{MAD}}_{X}$ oder ${\text{MD}}_{X}$ verwendet; weiter existiert für die mittlere absolute Abweichung vom Median auch die Notation ${\text{MedAD}}_{X}$.

Beispiel

Gegeben sei die Stichprobe

$x=(10;9;13;15;16)$,

es ist also $n=5$. Für das arithmetische Mittel ergibt sich

${\overline {x}}={\frac {1}{5}}(10+9+13+15+16)={\frac {63}{5}}=12{,}6$.

Damit ist die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel:

${\begin{aligned}d_{\overline {x}}&={\frac {1}{5}}\left(|10-12{,}6|+|9-12{,}6|+|13-12{,}6|+|15-12{,}6|+|16-12{,}6|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(|-2{,}6|+|-3{,}6|+|0{,}4|+|2{,}4|+|3{,}4|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(2{,}6+3{,}6+0{,}4+2{,}4+3{,}4\right)\\&={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {62}{5}}={\frac {62}{25}}\\&=2{,}48\end{aligned}}$

Als sortierte Stichprobe erhält man

$x_{\text{sort}}=(9,10,13,15,16)$,

somit ist der Median

${\tilde {x}}=13$.

Und die mittlere absolute Abweichung vom Median, nach der ersten Definition:

${\begin{aligned}{\tilde {d}}_{0{,}5}&={\frac {1}{5}}\left(|10-13|+|9-13|+|13-13|+|15-13|+|16-13|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(|-3|+|-4|+0+|2|+|3|\right)\\&={\frac {1}{5}}(3+4+2+3)\\&={\frac {12}{5}}=2{,}4\end{aligned}}$

Als Abweichungen vom Median erhält man:

$(\left\vert x-{\tilde {x}}\right\vert )=(4,3,0,2,3)=(0,2,3,3,4)$

Somit ist die mittlere absolute Abweichung vom Median nach der zweiten Definition:

${\tilde {d}}_{0{,}5}={\text{median}}(|x_{i}-{\tilde {x}}|)=3$

Insbesondere liefern alle drei Definitionen im allgemeinen auch voneinander verschiedene Werte.

Eigenschaften

Betrachtet man die mittlere absolute Abweichung von einem beliebigen Wert $m$, also

$A(m)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m|$,

so ist $A(m)$ genau dann minimal, wenn $m$ der Median ist. Ein analoges Resultat gilt auch für die mittlere quadratische Abweichung von einem Wert $m$: sie wird genau dann minimal, wenn $m$ das arithmetische Mittel ist. In diesem Sinne ist die mittlere absolute Abweichung ein natürliches Streumaß um den Median, ebenso wie die mittlere quadratische Abweichung ein natürliches Streumaß um das arithmetische Mittel ist.

Siehe auch

• Mittlere quadratische Abweichung