Benutzer:Steffen Froehlich/Spielwiese

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Coulomb-Frames im Normalenbündel

Ein Coulomb-Frame im Normalenbündel einer zweidimensionalen Fläche $X\colon B\to \mathbb {R} ^{n+2}$, definiert auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe $B\subset \mathbb {R} ^{2},$ ist ein orthonormales Frame $\{N_{1},\ldots ,N_{n}\}$ im Normalenraum dieser Fläche $X$, welches kritisch ist für das Funktional der Gesamttorsion

$T_{X}(N_{1},\ldots ,N_{n}):=\sum _{\sigma ,\vartheta =1}^{n}\sum _{i,j=1}^{2}\iint \limits _{B}g^{ij}T_{\sigma ,i}^{\vartheta }T_{\sigma ,j}^{\vartheta }W\,dudv$

mit den Koeffizienten $g^{ij}$ der inversen ersten Fundamentalform und der zum gewählten Orthonormalsystem $N_{1},\ldots ,N_{n}$ gehörigen Torsionskoeffizienten

$T_{\sigma ,i}^{\vartheta }:=N_{\sigma ,i}\cdot N_{\vartheta }.$

Schließlich bedeutet $W={\sqrt {g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}$ das Oberflächenelement der Fläche $X.$

Das Funktional $T$ ist parameterinvariant, nimmt aber einen vom gewählten Orthonormalframe $\{N_{1},\ldots ,N_{n}\}$ abhängigen, nicht negativen Wert an. Unter Benutzung konformer Parameter schreibt sich $T$ in der Form

$T_{X}(N_{1},\ldots ,N_{n}):=2\iint \limits _{B}{\big \{}(T_{1,1}^{2})^{2}+(T_{1,1}^{3})^{2}+\ldots +(T_{n-1,2}^{n})^{2}{\big \}}\,dudv$

Die Bezeichung "Coulomb-Frame" ist der Theorie harmonischer Abbildungen auf Mannigfaltigkeiten entnommen. Aus rein formaler Sicht entsprechen die zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen den Differentialgleichungen einer aus der Theorie des Elektromagnetismus bekannten Coulomb-Eichung.

Euler-Lagrange-Gleichung im Fall $n=2$

Im Falle $n=2$ und unter Verwendung konformer Parameter genügt ein Coulomb-Frame der Euler-Lagrange-Gleichung

${\mbox{div}}\,(T_{1,1}^{2},T_{1,2}^{2})=0\quad {\mbox{in}}\ B,\quad (T_{1,1}^{2},T_{1,2}^{2})\cdot \nu =0\quad {\mbox{auf}}\ \partial B.$

Dies folgt unmittelbar nach Einsetzen der Transformationen

${\overline {T}}_{1,1}^{2}=T_{1,1}^{2}+\varphi _{u},\quad {\overline {T}}_{1,2}^{2}=T_{1,2}^{2}+\varphi _{v}$

der zum neuen Orthonormal-Frame

${\overline {N}}_{1}=\cos \varphi \,N_{1}-\sin \varphi \,N_{2},\quad {\overline {N}}_{2}=\sin \varphi \,N_{1}+\cos \varphi \,N_{2}$

gehörigen Torsionen in das Funktional der Gesamttorsion

$T_{X}(N_{1},N_{2})=2\iint \limits _{B}{\big \{}(T_{1,1}^{2})^{2}+(T_{1,2}^{2})^{2}{\big \}}\,dudv.$

Coulomb-Frames im Fall $n=2$

Der Krümmungstensor des Normalenbündels der Fläche besitzt die Komponenten

$S_{\sigma ,ij}^{\vartheta }=\partial _{u^{j}}T_{\sigma ,i}^{\vartheta }-\partial _{u^{i}}T_{\sigma ,j}^{\vartheta }+\sum _{\omega =1}^{2}T_{\sigma ,i}^{\omega }T_{\omega ,j}^{\vartheta }-\sum _{\omega =1}^{2}T_{\sigma ,j}^{\omega }T_{\omega ,i}^{\vartheta }.$

Auf Grund seiner Schiefsymmetrie $T_{\sigma ,i}^{\vartheta }=-T_{\vartheta ,i}^{\sigma }$ besitzt dieser Tensor im Falle zweier Kodimensionen nur eine einzige nicht-triviale Komponente

$S:=S_{1,12}^{2}={\mbox{div}}(T_{1,1}^{2},T_{1,2}^{2}).$

Alle weiteren sind entweder gleich Null oder dem Negativen von $S$.

Obere Schranke an die Torsionen

Die Differentialform

$\omega :=-T_{1,2}^{2}\,du+T_{1,1}^{2}\,dv$

ist für ein Coulomb-Frame geschlossen: $d\omega =0.$ Nach dem Poincaréschen Lemma existiert eine Stammfunktion $\tau$ mit den Eigenschaften $\tau _{u}=-T_{1,2}^{2}$ und $\tau _{v}=T_{1,1}^{2},$ welche folgendem Poissonschen Randwertproblem genügt:

$\triangle \tau =S\quad {\mbox{in}}\ B,\quad \tau =0\quad {\mbox{on}}\ B.$

Die Schauer-Theorie liefert die globale Abschätzung

$\|\tau \|_{C^{2+\alpha }(B,\mathbb {R} )}\leq \|S\|_{C^{\alpha }(B,\mathbb {R} )}$

Für die $C^{2+\alpha }$-Höldernorm von $\tau$. Insbesondere sind damit die Torsionskoeffizienten eines Coulomb-Frames kontrollt: Ist z.B. das Normalenbündel flach, d.h. gilt $S\equiv 0$ auf $B,$ so verschwinden sämtliche Torsionen. Das Coulomb-Frame ist torsionsfrei!

Euler-Lagrange-System im Fall $n>2$

Unter Verwendung konformer Parameter genügt ein Coulomb-Frame im Fall hoher Kodimension $n>2$ dem Euler-Lagrange-System

${\mbox{div}}(T_{\sigma ,1}^{2},T_{\sigma ,2}^{2})=0\quad {\mbox{in}}\ B,\quad (T_{\sigma ,1}^{2},T_{\sigma ,2}^{2})\cdot \nu =0\quad {\mbox{auf}}\ \partial B$

Diese Gleichung lassen sich wie im Fall $n=2$ ableiten. Man betrachtet sukzessive Störungen in den durch $N_{\sigma }$ und $N_{\vartheta }$ aufgespannten Ebenen im Normalenraum.

Literatur

Helein, F.

Fröhlich, S.; Müller, F.

Fröhlich, S.; Müller, F.