Der Auslander-Reiten-Köcher – benannt nach Maurice Auslander (1926–1994) und Idun Reiten (* 1942) – ist ein Translationsköcher, der zur kombinatorischen Beschreibung von abelschen Kategorien benutzt wird. Eingeführt wurde er ursprünglich, um die Kategorie der Darstellungen eines Köchers oder – allgemeiner – von Moduln über Artin-Algebren zu beschreiben.

Definition für die Kategorie der Darstellungen eines Köchers

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Sei   ein Körper und   ein azyklischer Köcher. Sei   die Kategorie der Darstellungen des Köchers über dem Körper  . Dann sind die Punkte des Auslander-Reiten-Köchers   die Isomorphieklassen der unzerlegbaren Darstellungen in  . Zwischen zwei Punkten   und   sind die Pfeile wie folgt definiert: Aus   wähle einen Repräsentanten   und aus   einen Repräsentanten  . Die Pfeile von   nach   bilden eine Basis des Raumes der irreduziblen Abbildungen von   nach  . Die Translation   ist eine Abbildung einer Teilmenge der Punkte in   in die Menge der Punkte  . Für jeden Punkt  , dessen Elemente nicht projektiv sind, gibt es eine Auslander-Reiten-Folge (fast zerfallende, kurze exakte Folge) der Form   mit  . Dann ist  .

Entsprechend gibt es auch für jeden Punkt  , dessen Elemente nicht injektiv sind, eine Auslander-Reiten-Folge der Form   mit  .

Erläuterungen

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Der Auslander-Reiten-Köcher liefert auf Grund des Satzes von Krull-Remak-Schmidt (jede nicht-triviale Darstellung eines Köchers ist die direkte Summe von unzerlegbaren Darstellungen) eine Beschreibung der Objekte in der Kategorie  .

Falls   darstellungsendlich ist, lässt sich jede nicht-triviale Abbildung als Komposition endlich vieler irreduzibler Abbildungen zerlegen. Daher liefert in diesem Fall der Auslander-Reiten-Köcher auch eine Beschreibung der Morphismen.

Literatur

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  • M. Auslander, I. Reiten: Representation theory of artin algebras III. Almost split sequences, Comm. Algebra 3 (1975), 239–294
  • M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smalø: Representation theory of artin algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge University Press (1994)
  • Karsten Schmidt: Auslander-Reiten theory for simply connected differential graded algebras. Dissertation, Universität Paderborn 2007