Die assoziierten Elemente eines Rings sind ein Begriff aus der Teilbarkeitslehre in der Mathematik. Zwei Elemente und heißen assoziiert, wenn sie wechselseitig teilbar sind, wenn also „ teilt “ und „ teilt “ gleichzeitig erfüllt sind.

Definition

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Kommutative Ringe

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Zwei Elemente   eines Integritätsringes   (nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1) heißen zueinander assoziiert, falls eine Einheit   mit   existiert.[1] Dies ist genau dann erfüllt, wenn sich   und   gegenseitig teilen, das heißt   und   erfüllt sind. Man schreibt auch  , oder  .

Nicht-kommutative Ringe

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Zwei Elemente   eines nicht-kommutativen Rings   mit 1 heißen zueinander rechts assoziiert, falls eine Rechtseinheit   mit   existiert. Dann ist sowohl   rechtes Vielfaches von  , das heißt   linker Teiler von  , als auch   rechtes Vielfaches von  .

Entsprechend definiert man links assoziiert mit einer Linkseinheit und linken Vielfachen. Sind zwei Elemente   sowohl links wie rechts assoziiert, gelten sie als zweiseitig assoziiert.

Darüber hinaus lassen sich zwei Elemente   als erweitert assoziiert definieren, wenn es 2 Einheiten   mit   gibt. Dann stehen   zwar nicht notwendigerweise in einer Teilbarkeitsbeziehung, es folgt jedoch aus zweiseitig assoziiert sowohl links assoziiert wie rechts assoziiert und sowohl aus links assoziiert wie aus rechts assoziiert noch erweitert assoziiert.

Bemerkung:

Im nicht-kommutativen Fall muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte) benennen, was das einfache Teilbarkeitssymbol (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht ausdrücken kann.

Eigenschaften

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Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation (auch die drei Formen einschließlich der erweiterten im nicht-kommutativen Fall). Sie ist mit der Teilerrelation (im nicht-kommutativen Fall in der richtig gewählten Seitigkeit) verträglich, das heißt für seitig assoziierte Elemente   sind die Teiler bzw. Vielfachen von   genau die Teiler bzw. Vielfachen von  .

In einem Integritätsring sind zwei Elemente genau dann assoziiert, wenn sie dasselbe Hauptideal erzeugen.

Beispiele

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  • Im Ring   der ganzen Zahlen sind   genau dann assoziiert, wenn   gilt. Dies liegt daran, dass in   die Zahlen   und   die einzigen Einheiten sind.
  • In einem Körper sind alle von   verschiedenen Elemente zueinander assoziiert.
  • Im Polynomring   über einem Körper   sind zwei Elemente   und   genau dann assoziiert, wenn ein   existiert mit  .
  • In einem faktoriellen Ring besitzt außer dem Nullelement jede Nichteinheit eine Zerlegung in irreduzible Elemente, die bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit eindeutig ist.
  • Im nicht-kommutativen Ring der Hurwitzquaternionen ist die Gruppe der 24 Einheiten   nicht kommutativ. Außer den Hurwitzquaternionen mit Norm   und den rein reellen, die nur zweiseitig Assoziierte haben, haben die übrigen auch einseitig (sowohl rechts und nicht links wie auch links und nicht rechts) Assoziierte, und ein von ihnen erzeugtes Rechts- bzw. Linksideal ist nicht zweiseitig.

Einzelnachweise

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  1. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluss der linearen Algebra: Lehrbuch der Algebra, Teil 2. Teubner Verlag, 1988, ISBN 3-519-02212-5, S. 132 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).