In der abstrakten Algebra wird der Ausdruck Assoziator in unterschiedlicher Weise als ein Maß für die Abweichung einer algebraischen Struktur bzw. einer dort definierten zweistelligen Verknüpfung vom Assoziativgesetz verwendet.

Ringtheorie

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In einem nichtassoziativen Ring oder Algebra   ist der Assoziator die multilineare Abbildung

 

wobei auch die Schreibweisen   oder   gebräuchlich sind. Für einen (assoziativen) Ring ist er immer gleich Null.

Für den Assoziator gilt die Identität

 

Er alterniert genau dann, wenn   alternativ ist.

Er ist symmetrisch in seinen am weitesten rechts stehenden Argumenten, wenn   eine Prä-Lie-Algebra ist.

Quasigruppentheorie

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Auch der Assoziator in Quasigruppen misst die Abweichung der dort definierten Verknüpfung vom Assoziativgesetz, seine Definition unterscheidet sich aber ansonsten grundlegend von der in der Ringtheorie.

Eine Quasigruppe Q ist eine Menge mit der zweistelligen Verknüpfung  , für die   die Gleichungen   und   die eindeutigen Lösungen   haben. In einer Quasigruppe Q ist der Assoziator durch

 

definiert.

Siehe auch

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Literatur

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  • Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Dover, 1995, ISBN 0-486-68813-5 (englisch, Gutenberg.org [abgerufen am 9. Januar 2023] E-Book-Nr. 25156).