Čech-Homologie

eine Kohomologietheorie für Garben

Die Čech-Homologie, benannt nach Eduard Čech, ist eine Homologietheorie und gehört daher zum mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Genauer wird einem topologischen Raum und einem darin enthaltenen Unterraum eine Folge von Gruppen zugeordnet. Diese mit , bezeichneten Gruppen spiegeln Eigenschaften der topologischen Räume wider.

Einleitende Bemerkungen

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Simplizialkomplexe sind aus Simplices aufgebaut.

Historisch wurden Homologiegruppen zunächst für Simplizialkomplexe definiert, genauer spricht man von der simplizialen Homologie. Simplizialkomplexe sind topologische Räume, die sich auf einfache Art und Weise aus Simplices zusammensetzen. Diese Überlegungen lassen sich dann auf topologische Räume, die zu solchen Simplizialkomplexen homöomorph sind, ausdehnen, solche Räume nennt man triangulierbar. In einem weiteren Schritt möchte man dann die Homologiegruppen für alle topologischen Räume definieren, auch für solche, die nicht triangulierbar sind. Die singuläre Homologie ist eine solche mögliche Verallgemeinerung auf alle topologischen Räume, die hier vorzustellende Čech-Homologie ist eine alternative Verallgemeinerung.

Im Unterschied zur singulären Homologie werden die Homologiegruppen nicht aus einem Kettenkomplex gewonnen, sondern sie werden direkt durch einen Limesprozess definiert. Genauer approximiert man den topologischen Raum mittels Überdeckungen durch Simplizialkomplexe und erhält aus den Homologiegruppen dieser Simplizialkomplexe mittels eines projektiven Limes neue Gruppen, die dann die gesuchten Čech-Homologiegruppen sind. Diese Konstruktion wird im Folgenden vorgestellt, anschließend werden Eigenschaften und Unterschiede zur singulären Homologie beleuchtet. Der Konstruktion liegt eine feste Gruppe  , die sogenannte Koeffizientengruppe, zugrunde, deren Nennung wir aber weitestgehend unterdrücken.

Der Nerv einer Überdeckung

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Es sei   ein topologischer Raum. Ist   eine endliche Überdeckung, so konstruiere man wie folgt einen abstrakten Simplizialkomplex  . Jedes   sei eine Ecke von  . Eine Teilmenge   bilde genau dann einen Simplex von  , wenn

 .

Der Simplizialkomplex   heißt Nerv der Überdeckung  . Geometrisch lassen sich solche Simplizialkomplexe in einem euklidischen Raum   hinreichend großer Dimension realisieren. Man lasse sich im Folgenden von der Vorstellung leiten, dass der topologische Raum durch die Nerven immer feinerer Überdeckungen immer besser approximiert wird. Die projektiven Limiten der simplizialen Homologiegruppen dieser Nerven werden dann die gesuchten Čech-Homologiegruppen sein.

 
Kugeloberfläche mit 6 Halbkugelschalen  ,  .

Als Beispiel betrachten wir die Kugeloberfläche  . Überdeckt man  , wie in der Differenzialgeometrie üblich, durch   und  , so erhält man als Nerv den abstrakten Simplizialkomplex  , was in einer geometrischen Realisierung einer Strecke entspricht. Wählt man die feinere Überdeckung aus den 6 offenen Halbkugelschalen

 ,

so ist der Nerv gleich

 
 
 

und eine geometrische Realisierung ist homöomorph zur Oberfläche eines Oktaeders, die ihrerseits homöomorph zur Kugeloberfläche ist.

Konstruktion der Homologiegruppen

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Die Verbindung von   und   gehört zum rot markierten Teilsimplex, denn   schneidet auch  , für   und   gilt das nicht, obwohl sie beide   schneiden.

Um eine Homologietheorie zu erhalten, müssen wir Paare   von topologischen Räumen   und Unterräumen   betrachten, wobei   erlaubt ist. Ist   eine endliche Überdeckung von  , so sei   der Unterkomplex von  , der aus allen Teilmengen   besteht, für die

 

ist. Dann ist   ein simpliziales Paar und man kann die simplizialen Homologiegruppen   bilden. Wir definieren

 .

Man beachte, dass diese simplizialen Homologiegruppen bzgl. einer oben erwähnten Koeffizientengruppe definiert sind, deren Nennung in dieser Beschreibung aber unterbleibt.

Bevor wir nun die Überdeckungen immer feiner werden lassen, müssen wir einige induzierte Abbildungen einführen. Es sei   eine stetige Abbildung zwischen Paaren topologischer Räume, das heißt   ist Unterraum von  ,   Unterraum von  ,   ist eine stetige Abbildung   und es ist  . Es sei nun   eine endliche Überdeckung von  . Dann ist

 

eine offene Überdeckung von   und man kann neben dem simplizialen Paar auch   bilden. Daraus konstruieren wir nun eine simpliziale Abbildung

 ,

indem wir   auf den Ecken von   wie folgt erklären: Eine Ecke   von   ist eine Menge der Form   für eine im Allgemeinen nicht eindeutige Überdeckungsmenge  . Man wähle ein solches   und definiere  . Man zeigt, dass dadurch eine simpliziale Abbildung definiert ist, die daher einen Gruppenhomomorphismus

 

zwischen den simplizialen Homologiegruppen induziert. Des Weiteren kann man zeigen, dass dieser Gruppenhomomorphismus nicht mehr von den getroffenen Wahlen der   abhängt, das heißt man erhält einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus

 ,

der nur noch von   abhängt.

Nun betrachten wir ein Paar   topologischer Räume mit zwei endlichen Überdeckungen   und  , wobei   eine feinere Überdeckung sei, das heißt zu jedem   gibt es ein   mit  . Zu jedem   wähle ein solches   und definiere  . Man kann zeigen, dass durch diese Zuordnung der Ecken tatsächlich eine simpliziale Abbildung zwischen den Simplizialkomplexen gegeben ist, die natürlich von den getroffenen Wahlen der   mit   abhängt. Wie im Falle der oben beschriebenen   verschwindet diese Abhängigkeit, wenn man zu den Homologiegruppen übergeht, das man erhält nur noch von   und   abhängige Abbildungen

 .

Für die hier eingeführten Abbildungen können folgende Beziehungen nachgewiesen werden, wobei   eine stetige Abbildung zwischen Paaren topologischer Räume sei und  ,   und   endliche Überdeckungen auf   seien, die in dieser Reihenfolge feiner werden:

  •  
  •  
  •  

Die ersten beiden Gleichungen zeigen, dass die Daten eines projektiven Limes vorliegen, das heißt man kann

 

bilden, wobei wir die leicht zu verifizierende Tatsache verwenden, dass die Menge der endlichen, offenen Überdeckungen bzgl. der "feiner"-Relation eine gerichtete Menge ist. Die dritte Gleichung zeigt, dass die   einen Gruppenhomomorphismus

 

definieren. Das gilt für jedes  , in der Schreibweise   ist die Abhängigkeit von   unterdrückt.

Damit bilden die Zuordnungen

 
 , mit unterdrückter Abhängigkeit von  

Funktoren von der Kategorie der Paare topologischer Räume in die Kategorie der abelschen Gruppen. Die Funktoreigenschaften, das heißt, dass die identische Abbildung auf die identischen Gruppenhomomorphismen abgebildet werden und dass die Gruppenhomomorphismen einer Komposition mit den Kompositionen der Gruppenhomomorphismen übereinstimmen, ergeben sich geradewegs aus den entsprechenden Eigenschaften der simplizialen Homologie und der Konstruktion mittels des projektiven Limes. Diese Funktoren nennt man die Čech-Homologie des Paares, die Gruppen   heißen Čech-Homologiegruppen. Für   lässt man das   weg, das heißt man schreibt nur  .

Eigenschaften

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Viele Eigenschaften der Čech-Homologie ergeben sich aus den Eigenschaften der singulären bzw. simplizialen Homologie, in dem man entsprechende Eigenschaften dieser Homologietheorien auf den projektiven Limes überträgt. Die oben genannten Funktoreigenschaften zeigen, dass homöomorphe Paare dieselbe Čech-Homologie haben, denn Homöomorphismen zwischen Paaren induzieren offenbar Isomorphismen zwischen den entsprechenden Čech-Homologiegruppen. Letztere sind also topologische Invarianten.

Vergleich mit singulärer Homologie

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Der blaue Bereich besteht aus nach links hin immer enger zusammenrückenden Bögen.

Konstruktionsbedingt sind die Čech-Homologiegruppen simplizialer Paare zu den simplizialen und daher zu den singulären Homologiegruppen isomorph. Insbesondere gilt für den einpunktigen Raum

 

Dabei ist   die Koeffizientengruppe, die der Konstruktion zugrunde liegt, und 0 steht wie üblich für die triviale Gruppe.

Mittels Homöomorphie ergibt sich sofort, dass Čech-Homologie und singuläre Homologie auf Paaren triangulierbarer Räume übereinstimmen, was für allgemeinere Räume nicht mehr gilt, wie das nebenstehende Beispiel zeigt. Dieser Raum   ist Unterraum der Ebene   und besteht aus dem Funktionsgraphen von  ,  , sowie dem Streckenzug von   über   und   bis  . Für die singuläre Homologie gilt  , aber für die Čech-Homologie erhält man   (Koeffizientengruppe  ), siehe unten.

Homotopieinvarianz

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Zwei stetige Funktionen   zwischen Paaren topologischer Räume heißen homotop, falls es eine stetige Abbildung     gibt mit     und       für alle  . In diesem Fall gilt

   für alle  .

Insbesondere haben homotopieäquivalente Raumpaare isomorphe Čech-Homologiegruppen.

Lange Homologiesequenz

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Zu jedem Paar   topologischer Räume und jedem   gibt es Homomorphismen

 

(die Abhängigkeit von   und   wird unterdrückt), so dass Folgendes gilt:

Ist   eine stetige Abbildung zwischen Paaren topologischer Räume, so ist das folgende Diagramm kommutativ:

 

Sind weiter   und   die Inklusionsabbildungen, so gilt für die lange Homologiesequenz

 ,

dass die Komposition aufeinanderfolgender Homomorphismen der Nullhomomorphismus ist, das heißt der Kern eines jeden Homomorphismus umfasst das Bild des vorhergehenden. Man beachte, dass diese Eigenschaft erheblich schwächer ist als die Entsprechung in der singulären Homologie, für die die lange Homologiesequenz sogar exakt ist. Schließlich soll noch erwähnt werden, dass die Homomorphismen   durch die Bildung des projektiven Limes aus den Verbindungshomomorphismen der simplizialen Homologie hervorgehen und die genannte Schwäche daher rührt, dass Exaktheit beim Übergang zum projektiven Limes im Allgemeinen nicht erhalten bleibt.

Ausschneidung

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Es sei   ein Paar topologischer Räume und es sei   eine offene Menge, deren abgeschlossene Hülle im Inneren von   enthalten ist. Dann induziert die Inklusionsabbildung   Isomorphismen

   für alle  

Dies nennt man die Ausschneidungseigenschaft, denn man stellt sich vor, man habe   aus dem Paar   herausgeschnitten. Man beachte, dass die entsprechende Eigenschaft der singulären Homologie ohne die Offenheit von   gilt. In der Čech-Homologie kann man auf diese Voraussetzung nicht verzichten.

Stetigkeit

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Eine Besonderheit der Čech-Homologie, die bei der singulären Homologie fehlt, ist die sogenannte Stetigkeit, die auf der Konstruktion des projektiven Limes beruht. Es sei   eine gerichtete Menge. Zu jedem   sei   ein Paar kompakter Räume, das heißt   und   sind beide kompakt, und zu jedem   in   sei   eine stetige Abbildung, so dass folgende Beziehungen gelten:

    für alle  
    für alle   mit  .

Mit diesen Daten kann man einerseits den projektiven Limes

 

der kompakten Paare konstruieren, andererseits erhält man durch Anwendung des Funktors der  -ten Čech-Homologie die Daten   und   für   in  , aus denen man den projektiven Limes der Čech-Homologiegruppen bilden kann. Die Stetigkeitseigenschaft besagt, dass die erwartete Beziehung gilt:

 .

Beispiel

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Als Anwendung betrachte zum Raum  , der oben mittels des  -Graphen konstruiert worden war, die Räume  , die aus   durch Hinzunahme des vollen Rechtecks mit den Ecken  ,  ,   und   hervorgehen. Lässt man die linke Seite der hinzugenommenen Rechtecke stetig auf die rechte zuwandern, so sieht man, dass   homotop zu einer einfach geschlossenen Linie und damit zu einem Kreis ist.

 
Die Räume   sind homotop zu einer Kreislinie.

Also ist wegen der Homotopieinvarianz und Übereinstimmung von singulärer Homologie und Čech-Homologie für triangulierbare Räume  , wobei wir wieder die Koeffizientengruppe   betrachten. Für   sei   die Inklusionsabbildung  . Dann ist   die Identität und Stetigkeit liefert

 .

Die singuläre Homologie   hingegen ist 0. Das liegt im Wesentlichen daran, ohne auf Einzelheiten einzugehen, dass keine einfach geschlossene Kurve den Raum "umlaufen" kann. Daher ist der Raum   ein Beispiel für einen nicht triangulierbaren Raum, denn im Falle der Triangulierbarkeit müssten singuläre Homologie und Čech-Homologie übereinstimmen, was hier ja nicht vorliegt.

Literatur

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  • Andrew Wallace: Algebraic Topology, Homology and Cohomology, W. A. Benjamin Inc. (1969)