Wahrscheinlichkeitsvektor

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Ein Wahrscheinlichkeitsvektor oder stochastischer Vektor ist ein Vektor mit reellen und nichtnegativen Einträgen, deren Summe eins ergibt. Wahrscheinlichkeitsvektoren werden sowohl in der linearen Algebra als auch in der Stochastik verwendet. Wahrscheinlichkeitsvektoren sollten nicht mit Zufallsvektoren verwechselt werden, diese sind Zufallsvariablen mit Werten in .

Definition

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Ein Vektor   heißt Wahrscheinlichkeitsvektor oder stochastischer Vektor, wenn für seine Einträge

 

für alle   und

 

gilt. In einem Wahrscheinlichkeitsvektor sind demnach alle Einträge größer gleich null und die Summe der Einträge ergibt eins.

Beispiele

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  • Ein Wahrscheinlichkeitsvektor des   ist beispielsweise  .
  • Jeder Standardbasisvektor des   ist ein Wahrscheinlichkeitsvektor.
  • Bezeichnet   den Einsvektor, dann ist   ein Wahrscheinlichkeitsvektor.
  • Allgemein gilt: Ist   eine Zufallsvariable, die nur endlich viele Werte   annimmt, dann ist   mit den Wahrscheinlichkeiten   ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Beispielsweise repräsentiert   auf diese Weise eine diskrete Gleichverteilung.

Eigenschaften

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  • Ist   eine spaltenstochastische Matrix und   ein Wahrscheinlichkeitsvektor, so ist   wieder ein stochastischer Vektor.
  • Die Menge der Wahrscheinlichkeitsvektoren der Länge   ist abgeschlossen und konvex; sie ist also ein Polyeder im  -dimensionalen Raum, nämlich die konvexe Hülle der Standardbasisvektoren.
  • Für jeden Wahrscheinlichkeitsvektor ist die Summennorm  .

Verwendung

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In der Stochastik werden Wahrscheinlichkeitsvektoren genutzt, um die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Systems in bestimmten Zuständen zu beschreiben. Hat das System   verschiedene Zustände, so ist die  -te Komponente eines Wahrscheinlichkeitsvektors genau die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand   befindet. In der Stochastik werden Wahrscheinlichkeitsvektoren im Gegensatz zur linearen Algebra oftmals als Zeilenvektoren definiert und meist mit dem Symbol   bezeichnet.

Des Weiteren werden sie auch zur Definition von stochastischen Matrizen genutzt. Bei einer zeilenstochastischen Matrix sind die Zeilenvektoren stochastisch, bei einer spaltenstochastischen Matrix entsprechend die Spaltenvektoren. Eine Matrix, bei der sowohl Zeilen- als auch Spaltenvektoren Wahrscheinlichkeitsvektoren sind, wird doppelt-stochastische Matrix genannt.

Literatur

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