Stützhyperebene

Hyperebene
(Weitergeleitet von Stützgerade)

Eine Stützhyperebene oder stützende Hyperebene ist in der Mathematik eine Hyperebene, die den Rand einer gegebenen Teilmenge des euklidischen Raums so schneidet, dass die Menge vollständig in einem der beiden durch die Hyperebene definierten abgeschlossenen Halbräume liegt. Im zwei- und dreidimensionalen Raum spricht man entsprechend auch von einer Stützgerade beziehungsweise einer Stützebene. Für eine konvexe Menge existiert an jedem Randpunkt eine Stützhyperebene, die im Fall von glatten konvexen Mengen sogar eindeutig ist.

Stützhyperebene (gestrichelte Linie) und zugehöriger Stützhalbraum (hellblau) einer Menge S (lila)

Definition

Bearbeiten

Ist   eine Menge im  -dimensionalen euklidischen Raum, dann heißt eine Hyperebene   Stützhyperebene von  , wenn

 

und

    oder    

gelten, wobei   und   die beiden abgeschlossenen Halbräume zu   sind.[1] Derjenige Halbraum, der die zweite Bedingung erfüllt, heißt dann Stützhalbraum von  . Ein Randpunkt von  , der auf einer Stützhyperebene liegt, wird auch Stützpunkt von   genannt. Eine Stützhyperebene heißt eigentlich, wenn   ist, ansonsten uneigentlich.[2]

Darstellung

Bearbeiten

Ist   ein Randpunkt von   und bezeichnet   das Standardskalarprodukt im  , dann ist die Hyperebene

 

mit Normalenvektor   genau dann eine Stützhyperebene von   durch den Stützpunkt  , wenn entweder

 

für alle Punkte   oder

 

für alle   gilt. Durch Orientierung des Normalenvektors, zum Beispiel in Richtung der Menge  , kann man sich auch auf einen der beiden Fälle beschränken.[3]

Stützhyperebenen bei konvexen Mengen

Bearbeiten
 
Bei einer nichtkonvexen Menge gibt es Randpunkte, an denen keine Stützhyperebene existiert

Existenzsatz

Bearbeiten

Der folgende Existenzsatz für konvexe Mengen geht auf Hermann Minkowski (1896) zurück:[4]

Bei einer konvexen Teilmenge des euklidischen Raums besitzt jeder Randpunkt mindestens eine Stützhyperebene.

Das bedeutet, dass bei einer konvexen Menge   zu jedem Randpunkt   ein Vektor   existiert, sodass

 

für alle   gilt. Bei einer konvexen Menge sind damit alle Randpunkte Stützpunkte.[5]

Sei   mit   eine Folge von Punkten außerhalb des Abschlusses von  , die gegen den Randpunkt   konvergiert ( ). Nach dem Trennungssatz existiert nun durch jeden Punkt   eine Hyperebene

 ,

sodass   gilt. Werden nun die Vektoren   auf die Länge eins normiert, dann ist die Folge   beschränkt und enthält damit nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge  . Ist   der Grenzwert einer solchen Teilfolge ( ), dann ergibt sich

 

für alle  . Damit ist die Hyperebene

 

eine Stützhyperebene im Stützpunkt   mit zugehörigen Stützhalbraum  .[5]

Anmerkungen

Bearbeiten
 
Die Stützhyperebene durch einen gegebenen Stützpunkt muss nicht eindeutig sein

Hat die Menge   ein nichtleeres Inneres, ist also  , dann gilt auch die Umkehrung und   ist konvex, wenn alle Randpunkte von   Stützpunkte sind. Somit ergibt sich die folgende Charakterisierung konvexer Mengen:

Eine Teilmenge des euklidischen Raums mit nichtleerem Inneren ist genau dann konvex, wenn alle ihre Randpunkte Stützpunkte sind.

Die Menge   ist dabei streng konvex, wenn jede Stützhyperebene an   genau einen Stützpunkt enthält. Bei einer streng konvexen Menge sind damit die Stützhyperebenen zu verschiedenen Stützpunkten ebenfalls verschieden und jeder Randpunkt der Menge ist ein Extremalpunkt.[6] Ein verwandtes Resultat ist der Satz von Minkowski.

Eine Stützhyperebene durch einen gegebenen Stützpunkt muss jedoch nicht notwendigerweise eindeutig bestimmt sein, wie das Beispiel in der nebenstehenden Abbildung zeigt. Konvexe Mengen, bei denen die Stützhyperebene durch einen gegebenen Randpunkt eindeutig ist, heißen glatt konvex.[7] Sie spielen eine wichtige Rolle in der Theorie glatter Räume.

Verallgemeinerung

Bearbeiten

Stützhyperebenen werden allgemeiner auch in beliebigen topologischen Vektorräumen betrachtet. Eine Stützhyperebene an eine Teilmenge   eines topologischen Vektorraums   im Randpunkt   ist dann eine reelle Hyperebene

 ,

wobei   ein reelles lineares Funktional ist, welches nicht das Nullfunktional ist und dabei die Ungleichung

 

für alle   erfüllt.[8] Ein solches Funktional wird auch als Stützfunktional an   bezeichnet. Besitzt ein gegebener Randpunkt   eine derartige Stützhyperebene (und damit ein derartiges Stützfunktional), so wird er als Stützpunkt der Teilmenge   bezeichnet.[9]

Siehe auch

Bearbeiten

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Günter Ewald: Combinatorial convexity and algebraic geometry. In: Graduate texts in mathematics. Nr. 168. Springer, New York 1996, ISBN 978-1-4612-8476-5, S. 12.
  2. Peter Gritzmann: Grundlagen der mathematischen Optimierung. Springer, 2013, S. 261.
  3. Dieter Jungnickel: Optimierungsmethoden: Eine Einführung. Springer, 2014, S. 35.
  4. Hermann Minkowski: Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.
  5. a b Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, S. 247.
  6. Gottfried Köthe: Topologische Lineare Räume I. Springer, 2013, S. 346.
  7. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Springer, 2013, S. 108.
  8. Gottfried Köthe: Topologische Lineare Räume I. Springer, 2013, S. 196.
  9. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Springer, 2013, S. 66–67.
Bearbeiten