Spitze (hyperbolische Geometrie)

Spitzen (engl.: cusps) in der hyperbolischen Geometrie sind in der für die Zahlentheorie wichtigen Theorie der Modulformen und allgemein in der Theorie Fuchsscher und Kleinscher Gruppen von Bedeutung.

Definition

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Es sei   eine diskrete Gruppe von Isometrien des hyperbolischen Raumes  .

Ein Punkt im Unendlichen   ist eine Spitze von  , wenn es eine parabolische Isometrie   mit Fixpunkt   gibt.[1]

Beispiel

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Pflasterung von   durch Fundamentalbereiche der  -Wirkung. Die Eckpunkte im Unendlichen sind die Spitzen   von  .

Sei   die auf der hyperbolischen Ebene   wirkende Modulgruppe. Nach der Identifikation

 

entsprechen die Spitzen von   genau den rationalen Punkten

 .

Zum Beispiel ist   der Fixpunkt der parabolischen Isometrie   und   ist ein Fixpunkt der parabolischen Isometrie  .

Alle Spitzen von   liegen im  -Orbit von  .

Eine Kongruenzuntergruppe   hat dieselben Spitzen wie  , also ebenfalls  . Es gibt in diesem Fall aber mehrere  -Orbiten von Spitzen.

Rang einer Spitze

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Der Stabilisator   einer Spitze   ist eine freie abelsche Gruppe parabolischer Isometrien. Der Rang   der Spitze   ist definiert als der Rang der freien abelschen Gruppe  .

Für jede Spitze   gilt die Ungleichung

 .

Kompaktifizierungen durch Spitzen

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Falls alle Spitzen von   den Rang   haben, kann die nichtkompakte Mannigfaltigkeit   durch Hinzunahme je einer Spitze aus jedem  -Orbit kompaktifiziert werden.

Jede Spitze   hat dann in der Kompaktifizierung eine Familie von Umgebungen, die (nach Herausnehmen der Spitze) homöomorph zu Quotienten   von Horobällen   mit Zentrum   sind. Diese Umgebungen sind Spitzen im Sinne der Differentialgeometrie.

Beispiel:   ist vermittels der j-Invariante homöomorph zur komplexen Ebene  , durch Hinzunahme der Spitze   erhält man die Kompaktifizierung  . (Dies ist ein Spezialfall der Satake-Kompaktifizierung.) Ähnlich können die Quotienten   durch Hinzunahme endlich vieler Spitzen kompaktifiziert werden.[2] Diese Konstruktion ist beim Verständnis von Spitzenformen von Bedeutung.

Verallgemeinerungen

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Spitzen können allgemeiner auch für gewisse lokal symmetrische Räume definiert werden, sie sind damit zusammenhängend in der für die Zahlentheorie wichtigen und die Theorie der Modulformen verallgemeinernden Theorie der automorphen Formen von Bedeutung.

Literatur

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  • Boris Apanasov: Discrete groups in space and uniformization problems. Translated and revised from the 1983 Russian original. Mathematics and its Applications (Soviet Series), 40. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht 1991, ISBN 0-7923-0216-8.

Einzelnachweise

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  1. Aus der Diskretheit von   folgt dann, dass alle   festlassenden   parabolische Isometrien sein müssen. Eine Untergruppe von  , die eine parabolische und eine hyperbolische Isometrie mit demselben Fixpunkt im Unendlichen enthält, kann nie diskret sein.
  2. Kapitel 1.2 in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser, Boston, MA 2006, ISBN 0-8176-3247-6.

Siehe auch

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