Satz von Slutsky

mathematischer Satz
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Der Satz von Slutsky bzw. das Slutsky-Theorem, entwickelt von Jewgeni Sluzki (E. Slutsky), ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, der die Konvergenz von Zufallsvariablen betrifft. Der Satz von Slutsky spielt in der Anwendung eine wichtige Rolle, da die Parameter einer Verteilung in der Praxis selten bekannt sind und daher geschätzt werden müssen. Der Satz von Slutsky ermöglicht es, die unbekannten Verteilungsparameter durch geschätzte Größen zu ersetzen, die in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Parameter konvergieren.[1]

Falls die Folge von Zufallsvariablen   für   gegen unendlich gegen die Zufallsvariable   in Verteilung konvergiert und die Folgen von Zufallsvariablen   und   gegen die Werte   bzw.   in Wahrscheinlichkeit konvergieren, dann konvergiert die Funktion   in Verteilung gegen  . Kurz:

 

Beweisskizze

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Der Satz von Slutsky folgt in dieser Form aus drei Beobachtungen:

  • Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert Konvergenz in Verteilung.
  • Wenn   und   bzw.  , so konvergiert der Zufallsvektor   in Verteilung gegen  .
  • Nun wendet man den Satz von der stetigen Abbildung auf   an.

Beispiel

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Seien   unabhängige, identisch Poisson-verteilte Zufallsvariablen, wobei  . Man möchte nun z. B. ein Konfidenzintervall für   zum Konfidenzniveau   herleiten. Dabei wird der Satz von Slutsky helfen. Es gilt zunächst   nach dem zentralen Grenzwertsatz. Also weiter:

 

Möchte man nun   nach   auflösen, hat man folgendes Problem: Dass der unbekannte Parameter   hier sowohl im Zähler, als auch im Nenner vorkommt, was zu einer quadratischen Gleichung führt. Man kann dies aber umgehen, indem man   durch den Schätzer   ersetzt. Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt  . Nun gilt mit dem Satz von Slutsky, dass:

 

Es ergibt sich folglich als asymptotisches Konfidenzintervall für  :  .

Literatur

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  • Erich L. Lehmann: Elements of large sample theory. Springer, New York 1999, ISBN 0-387-98595-6, S. 70.
  • Harald Cramér: Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, Princeton 1946, S. 254.
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  • Skript zur Wahrscheinlichkeitstheorie (englisch) enthält das Slutsky-Theorem und seinen Beweis. (PDF; 329 kB) Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 20. Juli 2004; abgerufen am 23. Juni 2015.
  • Slutsky-Theorem

Einzelnachweise

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  1. Michael Messer, Gaby Schneider: Statistik: Theorie und Praxis im Dialog. Hrsg.: Springer Spektrum. 2019, ISBN 978-3-662-59338-7, S. 19.