Monge-Ampèresche Gleichung

nichtlineare partielle Differentialgleichung
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Eine Monge-Ampère'sche Gleichung, oder Monge-Ampère'sche Differentialgleichung, ist eine spezielle nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in Variablen.

Sie wurde von Gaspard Monge Anfang des 19. Jahrhunderts eingeführt, um ein Massentransportproblem („problème du remblai-déblai“, etwa: „Problem von Erdaufschüttung und -aushub“) für militärische Zwecke zu lösen. Trotz ihrer recht einfachen Form ist sie im Allgemeinen schwierig zu lösen. Die Gleichung ist zusätzlich nach André-Marie Ampère benannt, der sich mit ihr um 1820 befasste.

Mathematische Formulierung

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Allgemein hat eine Monge-Ampère'sche Gleichung über einem offenen Gebiet   die Form

 

wobei  , mit   die unbekannte Funktion ist,   eine gegebene Funktion  , und

 

die Hesse-Matrix von  . Speziell für den zweidimensionalen Fall   ergibt sich die einfache Gestalt

 

mit   und den Funktionen   und  . Oft wird für den Fall n=2 aber auch die folgende Darstellung als allgemeine Monge-Ampère'sche Gleichung bezeichnet:

 

wobei   und   Funktionen von ( ) sind. Man erkennt gleich, dass sich mit   und   die obige einfachere Gestalt ergibt.

Konkretes Beispiel

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Sei   und  . Dann ist   eine Lösung der Monge-Ampère'schen Differentialgleichung, denn       und daher  

Klassifizierung als partielle Differentialgleichung

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Eine Monge-Ampère'sche Gleichung ist eine voll nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in   Variablen. Erläuterungen:

  • „partielle Differentialgleichung“, denn es wird eine von mehreren Variablen abhängende Funktion   gesucht, deren partielle Ableitungen der gegebenen Gleichung gehorchen müssen.
  • „voll nichtlinear“, da alle Terme mit zweiten (also den höchsten) Ableitungen von   quadratisch auftauchen.

Eine wichtige Klasse sind die elliptischen Monge-Ampère'schen Gleichungen, die für   die Bedingungen   und   erfüllen, bzw. in der einfacheren Form einfach  .

Anwendungen

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Die meisten Anwendungen der Monge-Ampère'schen Gleichung sind innermathematischer Art insbesondere in der Differentialgeometrie. Beim Minkowski-Problem beispielsweise wird eine strikt konvexe Hyperfläche mit vorgegebener Gaußkrümmung gesucht, was auf eine Monge-Ampère'sche Gleichung führt. Das Problem wurde 1953 von Nirenberg gelöst.

Eine unerwartete Anwendung im Bereich der String-Theorie ergab sich durch ein 1978 veröffentlichtes Resultat von Yau, der eine Vermutung von Calabi über die Krümmung bestimmter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Lösung einer komplexen Monge-Ampère'schen Gleichung bewies (Satz von Yau). Man spricht heute entsprechend von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Bedeutende Beiträge zu Monge-Ampère'schen Gleichungen im Verlaufe des 20. Jahrhunderts kamen von Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, Luis Caffarelli, Alexei Wassiljewitsch Pogorelow, Thierry Aubin, Sébastien Boucksom, Alessio Figalli und Guido de Philippis.

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