Die L-Unverfälschtheit ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft eines Punktschätzers. Sie verallgemeinert die Erwartungstreue und enthält als weiteren Spezialfall die Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über die Verwendung einer allgemeinen Verlustfunktion statt.

Definition

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Gegeben seien ein statistisches Modell   sowie eine Verlustfunktion  . Es sei

 

das Risiko des Punktschätzers   an der Stelle  , gemessen bezüglich  

Dann heißt ein Schätzer   L-unverfälscht, wenn für alle   gilt:

    für alle    .

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit  , näher an dem Wert   als an jedem weiteren Wert  .

Beispiele

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Gauß-Verlust

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Wählt man als Verlustfunktion den Gauß-Verlust

 ,

so ist   (siehe Lp-Raum) genau dann L-unverfälscht, wenn   ein erwartungstreuer Schätzer für   ist.

Laplace-Verlust und Median-Unverfälschtheit

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Wählt man als Verlustfunktion den Laplace-Verlust

 ,

so ist   genau dann L-unverfälscht, wenn   Median-unverfälscht ist, das heißt, es gilt für alle  

    und    .

Literatur

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