Eine K-konvexe Funktion ist einer Verallgemeinerung des Begriffes der Konvexität einer Funktion auf reell-vektorwertige Funktionen. Dazu wird die strikte Ordnung auf abgeschwächt und es wird mit Halbordnungen auf gearbeitet, den sogenannten verallgemeinerten Ungleichungen.

Definition

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Gegeben sei ein abgeschlossener, spitzer und konvexer Kegel   mit nichtleerem Inneren und   bzw.   die von diesem Kegel induzierte Halbordnung bzw. strikte Halbordnung. Des Weiteren sei   eine konvexe Teilmenge des  . Die Funktion

 

heißt K-konvex auf der Menge   genau dann, wenn

 

gilt für alle   und alle  . Die Funktion   heißt strikt K-konvex auf der Menge  , wenn

 

für alle   und alle   in   gilt.

Beispiele und Eigenschaften

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  • Setzt man  , ist die Funktion also reellwertig, und wählt als Kegel die Menge  , so sind die K-konvexen Funktionen genau die konvexen Funktionen. Dies liegt daran, dass die von dem Kegel induzierte Ordnung die gewöhnliche Ordnung auf den reellen Zahlen ist.
  • Wählt man hingegen als Kegel die Menge  , so sind die K-konvexen Funktionen genau die konkaven Funktionen, da der Kegel die Ordnung auf den reellen Zahlen umkehrt.
  • Ist der Kegel die Menge
 , so ist die induzierte allgemeine Ungleichung das komponentenweise kleinergleich. Die K-konvexen Funktionen sind dann die Funktionen, deren Komponenten alle konvex sind.
  • Affine Funktionen sind immer K-Konvex, unabhängig vom verwendeten Kegel. Dies folgt direkt aus der Linearität der Funktion und der Reflexivität der verallgemeinerten Ungleichung.
  • Die Subniveaumenge einer K-konvexen Funktion ist eine konvexe Menge.
  • Eine Funktion ist genau dann K-konvex, wenn ihr Epigraph eine konvexe Menge ist. Der Epigraph wird in diesem Fall mittels der verallgemeinerten Ungleichung und nicht mit dem herkömmlichen kleinergleich definiert.

Alternative Charakterisierungen

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Über Dualität

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Die K-Konvexität einer Funktion lässt sich auch gut mittels der von dem zu   dualen Kegel   induzierten Halbordnung beschreiben. Eine Funktion ist genau dann (strikt) K-konvex, wenn für jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor   mit   gilt, dass   (strikt) konvex im herkömmlichen Sinne ist.

Für differenzierbare Funktionen

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Ist   eine differenzierbare Funktion, so ist diese genau dann K-konvex, wenn

  für alle  . Hierbei ist   die Jacobi-Matrix.

Verkettungen von K-konvexen Funktionen

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Die Kompositionen von K-konvexen Funktionen sind unter gewissen Umständen wieder konvex.

  • Ist   K-konvex und   konvex und ist die erweiterte Funktion   K-monoton wachsend, so ist   konvex. Insbesondere müssen die beiden Kegel, welche die K-Konvexität und die K-Monotonie definieren, übereinstimmen.

Matrix-konvexe Funktionen

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Betrachtet man Abbildungen vom   in den Raum der symmetrischen reellen Matrizen  , versehen mit der Loewner-Halbordnung  , so heißen die entsprechenden K-konvexen Funktionen auch Matrix-konvexe Funktionen. Eine äquivalente Charakterisierung der Matrix-Konvexität ist, dass die Funktion   konvex ist für alle   genau dann, wenn   Matrix-konvex ist.

Beispielsweise ist die Funktion  , definiert durch  , matrix-konvex, weil   konvex ist wegen der Konvexität der Norm.

Verwendung

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K-konvexe Funktionen werden beispielsweise bei der Formulierung von konischen Programmen oder Verallgemeinerungen der Lagrange-Dualität verwendet.

Verallgemeinerungen

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Teilweise werden auch Abbildungen   zwischen zwei reellen Vektorräumen betrachtet und   nur mit einem Ordnungskegel   versehen, nicht mit einer verallgemeinerten Ungleichung. An die Abbildung wird die Forderung

 

für alle   und   aus der konvexen Menge   gestellt. Dann wird die Abbildung   wieder eine konvexe Abbildung genannt.

Literatur

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  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).