Lage-Skalen-Familie

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In der Statistik ist eine Lage-Skalen-Familie[1] bzw. Lage- und Skalenfamilie[2] eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen parametrisiert durch einen Lageparameter und einen nichtnegativen Skalenparameter.

Definition

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Sei   eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion  , und für   und   sei[1]

 .

Die auf diese Art entstehende Familie von Verteilungen heißt eine von   induzierte Lage-Skalen-Familie mit Lageparameter   und Skalenparameter  . Für   spricht man von einer (reinen) Skalenfamilie. Für   spricht man von einer Lagefamilie mit dem Lageparameter  .

Eigenschaften

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Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen

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Die Verteilungsfunktion   der Zufallsvariablen   kann durch die Verteilungsfunktion   der Zufallsvariablen   ausgedrückt werden. Es gilt

 

da

 

Die durch   erzeugte Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter   und dem Skalenparamater   kann damit durch die zweiparametrige Menge von Verteilungsfunktionen

 

charakterisiert werden.

Zusammenhang zwischen den Quantilfunktionen

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Ist   auf   stetig und streng monoton, dann ist auch die Verteilungsfunktion   von   auf   stetig und streng monoton und es gilt:[1]

 .

Im Fall einer reinen Skalenfamilie gilt

 .

Beispiele

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  • Die Normalverteilungen   bilden eine Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter   und dem Skalenparamater  . Die zugehörige Menge der Verteilungsfunktionen ist
 ,
wobei   die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Dabei ist   zugleich der Erwartungswert und   ist zugleich die Standardabweichung von  .
 
für   bilden eine Skalen-Familie mit dem Skalenparameter  . Dabei ist   zugleich die Standardabweichung von  .
  • Aus der Standard-Cauchyverteilung   mit der Verteilungsfunktion
 .
kann die Lage-Skalen-Familie   gebildet werden, indem ausgehend von   die Verteilungen von   für   und   gebildet werden. Die Verteilungsfunktion von   ist
 .
Für die Cauchyverteilungen sind weder Erwartungswert noch Varianz definiert, so dass der Lageparameter   und der Skalenparameter   bei dieser Lage-Skalen-Familie nicht als Erwartungswert und Standardabweichung interpretiert werden dürfen.

Literatur

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  • Torsten Becker, Richard Herrmann, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wendisch: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden – Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Aktuare. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49406-6, Kap. 12.1: Lage-Skalen-Familien, doi:10.1007/978-3-662-49407-3.

Einzelnachweise

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  1. a b c Torsten Becker et al., S. 357.
  2. location-scale family. Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 19. Mai 2020 (englisch).