Substantielle Ableitung

Rate, wie sich ein physikalisches Feld am Ort eines Fluidteilchens ändert, während dieses von einer Strömung durch das Feld getragen wird
(Weitergeleitet von Konvektive Ableitung)

Die substantielle Ableitung (auch materielle Ableitung oder lokale Ableitung plus konvektive Ableitung) beschreibt, mit welcher Rate sich ein gegebenes physikalisches Feld am Ort eines Fluidteilchens ändert, während dieses von einer Strömung durch das Feld getragen wird.

In mathematischer Hinsicht handelt es sich um die totale Ableitung des Feldes entlang der Bahn des Teilchens. Die vom Teilchen auf seiner Bahn wahrgenommene Änderung setzt sich zusammen aus zwei Komponenten: Der Änderung aufgrund unterschiedlicher Feldstärken an Orten, die das Teilchen nacheinander durchläuft, und einer eventuellen Zeitabhängigkeit des Feldes an dem vom Teilchen durchlaufenen Ort.

Das Feld kann ein extern vorgegebenes Feld sein, das von dem Fluid durchströmt wird, z. B. ein elektrisches oder magnetisches Feld, ein Gravitationsfeld, aber auch ein Gravitationspotential oder eine sonstige beliebige physikalische oder mathematische Größe, solange deren Ableitungen gebildet werden können. Das Feld kann auch eine Eigenschaft des strömenden Fluids beschreiben, z. B. seine Temperatur, seine Dichte, seinen Druck oder seine Enthalpiedichte. Die Beschreibung des Feldes erfolgt in diesen Fällen in der Regel vom Standpunkt eines ruhenden Beobachters aus.

Insbesondere kann das betrachtete Feld das Geschwindigkeitsfeld der Strömung selbst sein. Die substantielle Ableitung beschreibt in diesem Fall die Änderung der Geschwindigkeit des Teilchens, während es der Strömung folgt, also seine Beschleunigung in der (und durch die) Strömung. Die Ermittlung dieser Beschleunigung in Abhängigkeit von den auf das Teilchen wirkenden Kräften ist Ausgangspunkt der Fluiddynamik.

Im Folgenden wird die Bewegung des betrachteten Teilchens durch das Feld als strömungsbedingt betrachtet; es kann sich aber auch allgemeiner um die Bewegung eines Volumenelements während der Deformation eines elastischen oder inelastischen Mediums handeln. Die Kontinuumsmechanik behandelt alle diese Fälle auf einer gemeinsamen Basis.

Definition

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Die substantielle Ableitung einer skalaren oder vektoriellen Feldgröße   wird als   oder   geschrieben und ist definiert als:

 .

wobei

  : skalares oder vektorielles Feld.
  : partielle Ableitung nach der Zeit   auch lokale Ableitung oder lokale Änderung genannt,
  : Geschwindigkeitsvektor der Strömung am Ort   und zur Zeit  ,
  : Nabla-Operator
  : Skalarprodukt

Der erste Summand   wird als lokale Änderung bezeichnet. Er beschreibt die explizite Zeitabhängigkeit des Feldes und gibt daher an, wie sich   an dem festen Ort  , d. h. lokal, verändert.

Der zweite Summand   ist die konvektive Änderung. Er beschreibt, welche Änderung sich zusätzlich durch die Bewegung des Fluidteilchens einstellt.

Handelt es sich bei   um eine skalare Feldgröße, dann ist die konvektive Änderung   gleich dem Skalarprodukt aus dem Geschwindigkeitsvektor   und dem Gradienten   von  .

Handelt es sich um eine vektorielle Feldgröße  , dann ist die konvektive Änderung   ein Vektor mit den Komponenten  .

Die konvektive Änderung kann anschaulich wie folgt interpretiert werden. Sei   der in Richtung der Geschwindigkeit   weisende Einheitsvektor. Dann ist  , und für die konvektive Änderung eines skalaren   gilt

 

(wobei   eine in Richtung des Einheitsvektors gezählte Ortskoordinate ist), denn das Skalarprodukt aus einem Einheitsvektor und dem Gradienten einer Funktion ist die räumliche Änderungsrate dieser Funktion in der durch den Einheitsvektor beschriebenen Richtung (siehe Richtungsableitung). Multiplikation der räumlichen Änderungsrate mit dem Betrag der Strömungsgeschwindigkeit ergibt die zeitliche Änderungsrate, der das Fluidelement ausgesetzt ist, während es sich mit der Strömung bewegt.[1]

Die substantielle Ableitung leitet sich aus dem Modell des mitbewegten Beobachters, welches auch als Lagrange'sche Betrachtungsweise bekannt ist, ab. Daneben existiert die Euler'sche Betrachtungsweise, welche einen feststehenden Beobachter nutzt und mit der lokalen Änderung verknüpft ist (nur bei der Betrachtung ohne Bewegung, wenn der konvektive Term herausfällt).

Beispiel: Bewegung im Temperaturfeld

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Als Beispiel betrachte man eine Seeoberfläche, deren Temperaturverteilung im ortsfesten Koordinatensystem   durch das zweidimensionale zeitabhängige Temperaturfeld

 

beschrieben wird. Das Wasser wird in Richtung der positiven x- und y-Achse, also von Südwesten nach Nordosten, wärmer (z. B. wegen einer Reihe warmer Zuflüsse). Zusätzlich wird der gesamte See durch Wärmezufuhr kontinuierlich erwärmt (z. B. durch Sonneneinstrahlung). Das Wasser ströme mit der Geschwindigkeit

 

von Südwesten nach Nordosten durch den See.

Die partielle Ableitung nach der Zeit beschreibt die Temperaturänderung für einen ortsfesten Beobachter, der bezüglich des Ufers ruhend im Wasser steht. Dieser Beobachter nimmt ausschließlich die Zeitabhängigkeit des Temperaturfelds am festen Beobachtungsort wahr. In diesem Beispiel ist die Zeitabhängigkeit für alle Orte dieselbe und beträgt:

 .

Die substantielle Ableitung beschreibt die Temperaturänderung für einen Beobachter, der sich in einem Boot mit dem Wasser mitbewegt. Sie ist

 

und damit um den konvektiven Anteil von   größer, weil sich das Boot zusätzlich in Richtung des wärmeren Gebietes bewegt.

Herleitung

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Im Folgenden wird die Herleitung für den Fall eines skalaren Feldes   in einem kartesischen Koordinatensystem skizziert. Orts- und Zeitabhängigkeit des Feldes seien gegeben durch die Funktion  .

Ein Beobachter, der sich zur Zeit   am Ort   befindet, ist dort dem Wert   des Feldes ausgesetzt. Bewegt sich der Beobachter entlang einer Raumkurve, die durch die zeitabhängigen Koordinaten   beschrieben wird, so ist er veränderlichen Werten   ausgesetzt. Für die zeitliche Änderung des Feldes, die der Beobachter wahrnimmt, gilt daher aufgrund der verallgemeinerten Kettenregel:

 

Dabei sind  ,   und   die Geschwindigkeitskomponenten des Beobachters.

Betrachtet man nun anstelle eines beliebigen Beobachters, der sich entlang einer beliebigen Raumkurve bewegt, speziell ein Fluidelement, das von einer Strömung mit den Geschwindigkeitskomponenten  ,   und   durch das Feld getragen wird, so wird daraus

 

Unter Einführung des Ortsvektors   mit den Komponenten  ,  ,   und des Geschwindigkeitsvektors   mit den Komponenten  ,  ,   lässt sich die substantielle Ableitung schreiben als

 

Für eine vektorwertige Funktion   lautet die substantielle Ableitung komponentenweise ausgeschrieben

 

Anschauliche Spezialfälle

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Man betrachte eine Fluidströmung mit dem (ggf. zeitabhängigen) Geschwindigkeitsfeld  . Eine Stromlinie ist eine Kurve, die in jedem durchlaufenen Punkt dieselbe Richtung hat wie die Strömungsgeschwindigkeit an diesem Punkt und zu dieser Zeit.

Stationäre Strömung

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Stromlinien, welche die stationäre Strömung um ein Tragflächenprofil beschreiben.

Eine Strömung ist stationär, wenn das Geschwindigkeitsfeld nicht explizit von der Zeit abhängt:

 ,
 

In diesem Fall bleibt das Stromlinienmuster zeitlich unverändert und ein Fluidteilchen, das sich zu einem gegebenen Zeitpunkt auf einer bestimmten Stromlinie befindet, wird dieser Stromlinie im zeitlichen Verlauf weiter folgen.

Wenn sich für eine stationäre Problemstellung durch geeignete Überlegungen ermitteln lässt, dass

 

ist (wegen   genügt es hierzu nachzuweisen, dass  ) dann folgt daraus, dass   entlang einer Stromlinie stets denselben Wert hat. (Es ist nichts darüber ausgesagt, ob   auf verschiedenen Stromlinien denselben Wert oder unterschiedliche Werte hat.)

Instationäre Strömung

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Falls die Strömung instationär ist, hängt das Geschwindigkeitsfeld explizit von der Zeit ab. Wenn für eine gegebene Problemstellung gilt, dass

 

ist, dann folgt daraus, dass für jedes Fluidelement auf seinem Weg   konstant bleibt. (Es ist nichts darüber ausgesagt, ob   für verschiedene Fluidelemente denselben Wert oder unterschiedliche Werte hat. Für jedes gegebene Fluidelement bleibt der einmal angenommene Wert aber unverändert.)

In diesem Fall heben sich lokale und konvektive Änderungen auf dem Weg des Fluidelements stets gegenseitig auf.

Beispiel: Fluiddynamik

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In diesem Beispiel wird die substantielle Ableitung des Geschwindigkeitsfeldes   der Strömung selbst verwendet. Sie beschreibt also die Änderung der Geschwindigkeit des Teilchens, während es der Strömung folgt, und damit seine Beschleunigung.

Man betrachte ein Fluidelement mit dem Volumen   und der konstanten Dichte   in einer inkompressiblen Strömung. Die einwirkenden Kräfte seien durch den ortsabhängigen hydrostatischen Druck   im Fluid und die Gravitation mit der Gravitationsbeschleunigung   verursacht.

Ist das Fluidelement ein Quader mit den Seitenlängen  ,   und  , dann übt der Druck   auf die linke Seite die Kraft   und auf die rechte Seite die Kraft   aus, so dass in x-Richtung die Nettokraft   wirkt. Verallgemeinert auf alle drei Dimensionen ergibt sich die durch den Druck verursachte Kraft

 

Die im Gravitationsfeld auf das Fluidelement der Masse   wirkende Gewichtskraft ist

 

Gemäß dem Zweiten Newtonschen Gesetz ist das Produkt aus Masse   und Beschleunigung   des Fluidelements gleich der einwirkenden Gesamtkraft:

 

Kürzen liefert die Euler-Gleichung:

 

In Komponenten ausgeschrieben lautet sie:

 

Fügt man als weitere Kraft die in einem viskosen Fluid auftretende Scherkraft hinzu, ergibt sich die Navier-Stokes-Gleichung.

Anwendung

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Die substantielle Ableitung wird besonders in der Kontinuumsmechanik verwendet. Dazu gehören zum Beispiel die Bilanzgleichungen der Fluidmechanik oder der Festkörpermechanik in den Ingenieurwissenschaften. Sie taucht dort häufig dann auf, wenn das Verhalten des physikalischen Systems durch den Erhalt von Masse, Energie u. ä. beschrieben wird.

Grenzen des Begriffes und dessen Anwendung ergeben sich, wenn die Definition von materiellen Punkten oder zugehörigen Geschwindigkeiten fehlschlagen. Dies ist zum Beispiel in der Mischungstheorie mit mehreren Phasen oder auf atomarer Ebene der Fall, wenn kein Kontinuum mehr vorliegt. Unter Umständen wird der Begriff eines materiellen Punktes oder seiner zugehörigen Geschwindigkeit angepasst.

Literatur

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  • D. J. Acheson: Elementary Fluid Dynamics. Oxford University Press, Oxford 1990, ISBN 0-19-859679-0, Kap. 1.
  • P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer-Verlag, 2000, S. 21.
  • Gerhard A. Holzapfel: Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons, Chichester 2005, ISBN 0-471-82319-8, S. 90 ff.
  • Horst Parisch: Festkörper-Kontinuumsmechanik. Teubner Verlag, 2003, S. 90.
  • C. Eck: Mathematische Modellierung. Springer-Verlag, 2011, ISBN 978-3-642-18423-9, S. 210 f.

Einzelnachweise

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  1. D. J. Acheson: Elementary Fluid Dynamics. Oxford University Press, Oxford 1990, ISBN 0-19-859679-0, S. 5.