Minor (Lineare Algebra)

Determinante einer Untermatrix
(Weitergeleitet von Kofaktormatrix)

Minor oder Unterdeterminante ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit die Determinante einer quadratischen Untermatrix, die durch Streichen einer oder mehrerer Spalten und Zeilen einer Matrix entsteht. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der entsprechenden Untermatrix gibt die Ordnung des Minors an.

Kofaktoren

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Definition

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Zu einer quadratischen  -Matrix   sind die Kofaktoren (oder Cofaktoren)   durch folgende Formel definiert:[1]

 

Dabei ist   der Minor  -ter Ordnung, der als Determinante derjenigen Untermatrix berechnet wird, die durch Streichen der  -ten Zeile und  -ten Spalte entsteht.

Statt Zeilen und Spalten zu streichen, kann man auch Matrizen betrachten, bei denen die Einträge der  -ten Zeile oder der  -ten Spalte (oder beider) durch Nullen ersetzt werden, mit Ausnahme des Eintrags an der Stelle  , der durch eine 1 ersetzt wird. Man erhält dann für die Kofaktoren:

 

wobei   für die Bildung der Determinante steht. Aus den Kofaktoren lässt sich wieder eine  -Matrix bilden, die Kofaktormatrix oder Komatrix (oder auch Comatrix), deren Transponierte als Adjunkte oder komplementäre Matrix bezeichnet wird. Mit ihr kann man die Inverse einer Matrix berechnen. Der Laplace'sche Entwicklungssatz verwendet die Kofaktoren einer Matrix zur Berechnung ihrer Determinante.

Kofaktormatrix und Kreuzprodukt

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Wenn mit zwei Vektoren  , die wie gezeigt mit der Matrix   transformiert wurden, das Kreuzprodukt   gebildet wird, kann aus diesem Produkt die Matrix   herausgezogen werden, wenn von ihr dabei der Kofaktor   gebildet wird:

 

Denn beim Spatprodukt mit einem dritten Vektor   gilt:

 

wo die senkrechten Striche |…| die Determinante bilden. Mit der Einheitsmatrix  , der transponierten Matrix   und der Identität   entsteht aus

 

und Umstellung die Identität

 

die für alle Vektoren   gilt und so auf die obige Aussage geschlossen werden kann.

Eigenschaften

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Die Kofaktormatrix ist die Transponierte Matrix zur Adjunkte, sodass sie ähnliche Eigenschaften aufweist. Nachfolgende Beziehungen gelten für alle Matrizen aus  

 , wobei   eine Einheitsmatrix ist.
  für  , wobei 0 die Nullmatrix ist. Für  -Matrizen   gilt jedoch immer, auch für die Nullmatrix:  .
 
 
 
  wobei  
 
 , insbesondere für  -Matrizen gilt  

Für invertierbare Matrizen gilt zusätzlich die Cramersche Regel

 

wobei   gilt. Durch Invertieren dieser erhält man

 

Sei   oder  , dann ist die (Fréchet-)Ableitung der Determinante   an der Stelle   ist gegeben durch

 

wobei   die Spur einer Matrix   ist.

Beispiel

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Es soll der Minor   und der Kofaktor   der folgenden Matrix bestimmt werden:

 

Durch Streichen der zweiten Zeile und dritten Spalte

 

entsteht die Matrix

 

Daraus lässt sich der Minor   berechnen:

 

Für den Kofaktor   gilt

 

bzw.

 

Hauptminoren

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Definition

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Entstehen Minoren durch Streichungen von Zeilen und Spalten derselben Nummern, spricht man von Hauptminoren, genauer von Hauptminoren k-ter Ordnung, wenn die Größe der Untermatrix angegeben werden soll. Bleiben genau die ersten k Zeilen und Spalten übrig, so spricht man von führenden Hauptminoren k-ter Ordnung.[2] Die führenden Hauptminoren werden mitunter auch natürlich geordnete Hauptminoren genannt.[3] Im deutschsprachigen Raum werden die führenden Hauptminoren oft verkürzt nur Hauptminoren genannt.[4] Dies hängt insbesondere damit zusammen, dass für viele Anwendungen nicht alle Hauptminoren untersucht werden müssen.[3] Außerdem ist im deutschsprachigen Raum die Bezeichnung Hauptabschnittsdeterminante für die Hauptminoren gebräuchlich.[5]

Zur Veranschaulichung mache man sich klar, wie viele Minoren, Hauptminoren und führende Hauptminoren eine 3x3-Matrix hat. Streicht man zunächst gleichzeitig die i-te Zeile und i-te Spalte für i = 1, 2, 3, so verbleiben drei Hauptminoren zweiter Ordnung. Streicht man jeweils mehrere Zeilen und die gleich nummerierten Spalten, tut man dies in diesem Fall also mit zweien, verbleiben drei Hauptminoren erster Ordnung. Umso mehr Zeilen gestrichen werden, desto kleiner die Ordnung.

Die Hauptminoren haben durch das Hauptminorenkriterium eine Bedeutung für die Feststellung der Definitheit symmetrischer bzw. hermitescher Matrizen.

Beispiel zu Hauptminoren und führenden Hauptminoren

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Führende Hauptminoren sind spezielle Hauptminoren, die dadurch entstehen, dass man die Ausgangsmatrix „von ihrem Ende“ her sukzessive um jeweils eine Zeile und Spalte verkürzt und die Determinanten der sich ergebenden Untermatrizen berechnet. So liefert etwa die 3×3-Matrix

 

die folgenden drei Untermatrizen

 

aus denen sich anschließend die folgenden drei führenden Hauptminoren berechnen lassen:

  • Führender Hauptminor 1. Ordnung:  
  • Führender Hauptminor 2. Ordnung:  
  • Führender Hauptminor 3. Ordnung:  

Wie zu sehen, gibt es dabei nur einen Hauptminor 3. Ordnung, der zugleich führend ist, nämlich die Determinante der gesamten Matrix. Weitere, insbesondere bei der Bestimmung der Semidefinitheit einer Matrix eine Rolle spielende Hauptminoren sind im Fall obiger Ausgangsmatrix außerdem die folgenden vier Hauptminoren 1. und 2. Ordnung:

  • Weitere Hauptminoren 1. Ordnung:  
  • Weitere Hauptminoren 2. Ordnung:  

Einzelnachweise

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  1. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 148.
  2. Frank Riedel: Mathematik für Ökonomen. Springer; Auflage: 2. verb. Aufl. 2009 (28. September 2009). ISBN 978-3642036484. S. 220.
  3. a b Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright, Harald Nitsch: Mathematik für Ökonomen - Grundlagen, Methoden und Anwendungen. Vahlen; Auflage: 1. Auflage. (Januar 2011). ISBN 978-3800636631. S. 80.
  4. Beispielsweise: Norbert Herrmann: Höhere Mathematik: für Ingenieure, Physiker und Mathematiker. Oldenbourg Wissenschaftsverlag; Auflage: 2. überarb. Auflage (1. September 2007). ISBN 978-3486584479. S. 13.
  5. Böker, Fred. Formelsammlung für Wirtschaftswissenschaftler: Mathematik und Statistik. Pearson Deutschland GmbH, 2007. S. 194.

Literatur

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  • Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2, S. 193.