In der Theorie der dynamischen Systeme bezeichnet man eine unter einem Fluss invariante Menge als hyperbolische Menge, wenn der Fluss entlang dieser Menge in einigen Richtungen kontrahierend und in anderen Richtungen expandierend wirkt. Dieses Verhalten ist typisch für chaotische dynamische Systeme.

Definition für diskrete dynamische Systeme

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Sei   ein Diffeomorphismus einer kompakten glatten Mannigfaltigkeit und   sein Differential. Eine  -invariante Teilmenge   ist eine hyperbolische Menge, wenn die Einschränkung   des Tangentialbündels auf   sich als Whitney-Summe zweier  -invarianter Unterbündel   und   zerlegen lässt, so dass (für eine geeignete Riemannsche Metrik) die Einschränkung von   auf   eine Kontraktion und die Einschränkung von   auf   eine Expansion ist. Das heißt,

 
  and   für alle  

und es gibt Konstanten   so dass

  für alle   und  

und

  für alle   und  .

Definition für Flüsse

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Sei

 

ein Fluss auf einer kompakten glatten Mannigfaltigkeit  . Für   bezeichnen wir mit   die Abbildung

 

und mit   ihr Differential. Den Orbit eines Punktes   bezeichnen wir mit

 .

Eine unter allen   invariante Teilmenge   ist eine hyperbolische Menge, wenn die Einschränkung   des Tangentialbündels auf   sich als Whitney-Summe zweier  -invarianter Unterbündel   und   und des Tangentialbündels der jeweiligen Orbiten zerlegen lässt, so dass (für eine geeignete Riemannsche Metrik) die Einschränkung von   auf   eine Kontraktion und die Einschränkung von   auf   eine Expansion ist. Das heißt,

  für alle  ,
  and   für alle  

und es gibt Konstanten   so dass

  für alle   und  

und

  für alle   und  .

Stabile und instabile Bündel, stabile und instabile Mannigfaltigkeiten

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Die durch die Definition einer hyperbolischen Menge gegebenen Bündel   und   heißen stabiles und instabiles Bündel, ihre Integralmannigfaltigkeiten heißen stabile und instabile Mannigfaltigkeiten.

Anosov-Fluss, Anosov-Diffeomorphismus

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Falls   ist, spricht man von einem Anosov-Fluss bzw. Anosov-Diffeomorphismus. Allgemeiner werden in der Theorie der dynamischen Systeme häufig Axiom A-Flüsse bzw. Axiom A-Diffeomorphismen betrachtet.

Literatur

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  • Luis Barreira: Ergodic theory, hyperbolic dynamics and dimension theory. Universitext. Springer, Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-28089-4
  • Eduard Zehnder: Lectures on dynamical systems. Hamiltonian vector fields and symplectic capacities. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2010. ISBN 978-3-03719-081-4
  • Michael Brin, Garrett Stuck: Introduction to dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-80841-3
  • Ken Palmer: Shadowing in dynamical systems. Theory and applications. Mathematics and its Applications, 501. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000. ISBN 0-7923-6179-2
  • Zbigniew Nitecki: Differentiable dynamics. An introduction to the orbit structure of diffeomorphisms. The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, 1971.
  • Dmitri Anosov: Dynamical systems in the 1960s: the hyperbolic revolution. Mathematical events of the twentieth century, 1–17, Springer, Berlin, 2006.