In der Mathematik sind Graphen von Gruppen eine Konstruktion der Gruppentheorie, mit der iterierte amalgamierte Produkte und HNN-Erweiterungen konstruiert werden können und die in der Bass-Serre-Theorie von Bedeutung ist.

Definition

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Ein Graph von Gruppen wird durch die folgenden Daten gegeben:

  • ein gerichteter zusammenhängender Graph  , so dass für jede Kante   auch die umgedrehte Kante   zu   gehört
  • eine „Eckengruppe“   für jede Ecke  
  • eine „Kantengruppe“   für jede Kante  , so dass   für alle  
  • injektive Homomorphismen   für jede Kante  

Fundamentalgruppe

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Für die Definition der Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen muss zunächst ein Spannbaum   im Graphen   gewählt werden. Die Fundamentalgruppe ist letztlich aber vom gewählten Spannbaum unabhängig.

Die Fundamentalgruppe des Graphen von Gruppen ist definiert als das freie Produkt

 

(wobei   die freie Gruppe mit Basis   bezeichnet) modulo der folgenden Relationen:

  •   für alle  
  •   für alle  
  •   für alle im Spannbaum   vorkommenden Kanten

Beispiele

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  • Es sei   der aus einer Kante   mit zwei Eckpunkten   bestehende Graph. Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen das amalgamierte Produkt
 .
  • Es sei   der aus einer Kante   mit zwei übereinstimmenden Eckpunkten   bestehende Graph (eine „Schleife“). Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen die HNN-Erweiterung
 
für den durch
 
gegebenen Homomorphismus   zwischen den Untergruppen   und   von  .

Siehe auch

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Literatur

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  • Jean-Pierre Serre: Arbres, amalgames, SL2. Rédigé avec la collaboration de Hyman Bass. Astérisque, No. 46. Société Mathématique de France, Paris, 1977.
  • englische Übersetzung: Trees. Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44237-5