In der Mathematik bezeichnet das Einheits-Tangentialbündel den Raum aller Tangentialvektoren der Länge 1 zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit, zum Beispiel zu einer Fläche im . Der Begriff spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und der Theorie der dynamischen Systeme.

Definition

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Es sei   eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und   ihr Tangentialbündel. Das Einheits-Tangentialbündel ist

 

In der englischsprachigen Literatur wird das Einheits-Tangentialbündel häufig auch mit   bezeichnet.

Topologische Eigenschaften

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Das Einheits-Tangentialbündel   ist ein Sphärenbündel über   also insbesondere auch ein Faserbündel. Die Fasern sind  -dimensionale Sphären für  .

  ist eine  -dimensionale Mannigfaltigkeit. Sie ist genau dann kompakt, wenn   kompakt ist.

Beispiele

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  •   ist diffeomorph zu  .
  •   ist diffeomorph zum 3-Torus.

Liouville-Maß

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Auf   ist eine kanonische 1-Form   definiert durch

 

wobei   die Projektion bezeichnet.

Die  -Form   ist eine Volumenform und definiert ein Maß auf  , das Liouville-Maß.

  und das Liouville-Maß sind invariant unter dem geodätischen Fluss.

Literatur

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